Α.
Ν. Θέμος: “Γάμμα Παραγόμενες Κατανομές: Μια Ανασκόπηση και Μερικές Νέες
Οικογένειες Κατανομών”
Σχήμα 1 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
της Κανονικής Κατανομής,
Την Μεταπτυχιακή του Διατριβή με
τίτλο ‘Γάμμα Παραγόμενες
Κατανομές: Μια Ανασκόπηση και Μερικές Νέες Οικογένειες Κατανομών’
παρουσίασε ενώπιον της τριμελούς επιτροπής κρίσης, ο Αναστάσιος Θέμος, υπό την
επίβλεψη του Καθηγητή κ. Κωνσταντίνου Ζωγράφου. Η διάλεξη έλαβε χώρα στην
Αίθουσα Διαλέξεων 201α του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου
Ιωαννίνων (βλέπε το σχετικό σύνδεσμο, http://www.math.uoi.gr/GR/docs/lectures/DiatriviThemos.pdf) στις 25 Ιουνίου 2015. Παραθέτουμε
στη συνέχεια, την Εισαγωγή και τον Σκοπό της Μεταπτυχιακής Διατριβής, όπως
προκύπτει από το ομώνυμο Κεφάλαιο.
Το 2004 ο Jones (βλέπε Jones, 2004) όρισε τη Βήτα
Παραγόμενη Κατανομή ως σύζευξη της κατανομής βήτα με μία άλλη
στοιχειώδη κατανομή. Στην εργασία του Jones γενικεύεται ουσιαστικά η ιδέα των Eugene et al. (2002) δημιουργίας κατανομών που
συνθέτουν χαρακτηριστικά άλλων κατανομών. Συνδέονται επίσης στην εργασία του Jones οι Βήτα Παραγόμενες Κατανομές με
την κατανομή των διατεταγμένων στατιστικών. Στη Μεταπτυχιακή διατριβή Γαύρος
(2011) γίνεται μια ανασκόπηση των Βήτα Παραγόμενων Κατανομών της υπάρχουσας
μέχρι τότε βιβλιογραφίας.
Επόμενο σταθμό στην κατασκευή
οικογενειών μονοδιάστατων κατανομών αποτελεί η εργασία των Zografos and Balakrishnan (2009). Στην εργασία
αυτή, παρακινούμενοι οι συγγραφείς από την κλάση των Βήτα Παραγόμενων
Κατανομών, ορίζουν τις Γάμμα Παραγόμενες Κατανομές, τις συνδέουν με την
κατανομή των ρεκόρ (records)
και μελετούν ιδιότητες της οικογένειας των κατανομών αυτών. Η κατανομή που
προτάθηκε από τους Zografos
and
Balakrishnan
(2009) γενικεύτηκε στη συνέχεια από διάφορους ερευνητές και σε διάφορες
κατευθύνσεις. Μεταξύ αυτών αναφέρονται οι εργασίες των Torabi and Hedesh (2012), Ristic and Balakrishnan(2012) και Alzaatreh et al.
(2013 b) οι οποίες θα παρουσιαστούν σε επόμενα κεφάλαια
της διατριβής.
Οι οικογένειες των Βήτα και Γάμμα
Παραγόμενων Κατανομών προμηθεύουν με γενικά μοντέλα κατανομών τα οποία
συνδυάζουν χαρακτηριστικά άλλων στοιχειωδέστερων κλασσικών κατανομών. Παρέχουν,
έτσι, μεγαλύτερη ευελιξία στη μοντελοποίηση πραγματικών δεδομένων και
επιτυγχάνουν ικανοποιητική προσαρμογή των δεδομένων αυτών στις εν’ λόγω
κατανομές.
Σκοπός
της μεταπτυχιακής διατριβής, η οποία είναι μεταξύ άλλων συνθετικού χαρακτήρα,
είναι μια κριτική ανασκόπηση και παρουσίαση των μονοδιάστατων Γάμμα Παραγόμενων
Κατανομών. Προσδιορίζονται αναλυτικά χαρακτηριστικά των κατανομών αυτών, όπως
για παράδειγμα διάφοροι τύποι ροπών, δίνονται αναπτύγματα για την συνάρτηση
πυκνότητας ή την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, παρουσιάζονται τρόποι
προσομοίωσης δεδομένων από τις κατανομές, υπολογίζεται αναλυτικά η αξιοπιστία
και η εντροπία των Shannon
και Renyi,
χαρακτηρίζονται οι κατανομές μέσω της αρχής της μέγιστης εντροπίας. Συζητείται
η εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών τόσο με την κλασσική μέθοδο της
μέγιστης πιθανοφάνειας όσο και με μια τροποποίηση της μεθόδου των ροπών. Τέλος,
προτείνονται νέες οικογένειες μονοδιάστατων Γάμμα Παραγόμενων Κατανομών καθώς
επίσης παρουσιάζονται κάποιες διδιάστατες γενικεύσεις. Πιο συγκεκριμένα, στο
Κεφάλαιο 1, παρουσιάζεται η μονοδιάστατη Γάμμα Παραγόμενη Κατανομή Τύπου 1,
όπως αυτή εισήχθη από τους Zografos
and
Balakrishnan
(2009). Στα Κεφάλαια 2, 3 και 4 παρουσιάζονται οι Γάμμα Παραγόμενες Κατανομές
Τύπου 2, 3 και 4 όπως αυτές έχουν εισαχθεί από τους Torabi and Hedesh (2012), Ristic and Balakrishnan(2012) και Alzaatreh et al.
(2013 b), αντίστοιχα. Στο Κεφάλαιο 5
παρουσιάζονται και μελετώνται ειδικές περιπτώσεις των Γάμμα Παραγόμενων
Κατανομών των προηγούμενων κεφαλαίων. Για κάθε μια από αυτές αναλύεται ένα
σύνολο πραγματικών δεδομένων της υπάρχουσας βιβλιογραφίας και ελέγχεται η
προσαρμογή του στις κατανομές αυτές. Επιβεβαιώνεται έτσι η ικανότητα των
γενικευμένων αυτών μοντέλων στην μοντελοποίηση πραγματικών δεδομένων. Στο
Κεφάλαιο 6, δίνονται κάποιες νέες μορφές μονοδιάστατων Γάμμα Παραγόμενων
Κατανομών, καθώς και κάποιες διδιάστατες γενικεύσεις. Η διατριβή ολοκληρώνεται
με τον επίλογο, την περίληψη στα αγγλικά, την βιβλιογραφία, καθώς και με ένα
παράρτημα το οποίο περιλαμβάνει, όλες τις Γάμμα Παραγόμενες Κατανομές που έχουν
προταθεί στη βιβλιογραφία από το 2009 μέχρι σήμερα καθώς και τις ρουτίνες της
γλώσσας προγραμματισμού R
που χρησιμοποιήθηκαν στα σχήματα, στις προσομοιώσεις και στους ελέγχους καλής
προσαρμογής του Κεφαλαίου 5.
Δεν υπάρχουν σχόλια: